織田です。

>コマンドプロンプトでmysqlを起動し、
>mysql>UPDATE mysql.user SET Password=PASSWORD('1234') WHERE User='root';
>と入力し、パスワードを設定する。と書かれているのですが、何度やっても
>ERROR 1044: Access denied for user: '@localhost' to database 'mysql'
>となってしまい、先に進めません。

多分、MySQLサーバへ管理権限の無いユーザで接続していますね。
現在のどのような状態でMySQLサーバに接続しているかは、
mysqlコマンド入力シェル(mysqlクライアントのプロンプト)で、
statusコマンドを使います。
mysql>status

どのようなユーザでMySQLに接続するかを指定する方法は、
マニュアルのmysqlクライアントの項を確認してください。
§4.9.2 mysql（コマンドラインツール）
http://dev.mysql.com/doc/mysql/ja/mysql.html
(http://dev.mysql.com/doc/mysql/ja/User_names.html)

また最初に設定されているユーザの状態を
(管理権限のある/ないユーザ)は以下で確認しておきます。
§4.4.4 MySQL 権限の初期設定
http://dev.mysql.com/doc/mysql/ja/Default_privileges.html

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Sumito_Oda mailto:oda@xxxxxxxxxx